a、bを正の数とし、xy平面の2点A(a,0)およびB(0,b)を
頂点とする正3角形をABCとする。
ただし、Cは第1象限の点とする。
(1)3角形ABCが正方形D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1}
に含まれるような(a,b)の範囲を求めよ。
(2)(a,b)が(1)の範囲を動くとき、3角形ABCの面積Sが最大と
なるような(a,b)を求めよ。
また、そのときのSの値を求めよ。
(解)
(1)
→
→ →
OC=OB+(BAの60゜回転)
だから
複素数平面上でAに対応する点が、a
B 〃 bi
C 〃
は、
bi+(a−bi)(cos60゜+isin60゜)
1
浮R 浮R
1
=---a+----b+(----a+----b)i
2
2
2
2
よって、3角形がDに含まれるための条件は、3頂点がDに含まれる
ことであり、
a>0、b>0(条件)、a≦1、b≦1
1
浮R 浮R
1
---a+----b≦1、
----a+----b≦1
2
2
2
2
つまり、
1 2
b≦−----a+----
と、 b≦−√3a+2 が成り立つときである。
√3 √3
ゆえに、求める(a,b)の範囲は、下図の部分である。
(2)
浮R
浮R
S=----AB2=----(a2+b2)
4
4
ここで、a2+b2は、Oと(a,b)との距離の2乗であるから、
Sを最大にする(a,b)は上図の3つの丸のうちのどれかである。
実際に求めてみると、(2−浮R)2+12=8−4浮R
(浮R−1)2+(浮R−1)2=8−4浮R
だから、3つともSを最大にする。
よって求める(a,b)は3つあって、
(2−浮R,1),(浮R−1,浮R−1),(1,2−浮R)
であり、最大のSは浮R(2−浮R)=2浮R−3