複素数平面の原点を、P0とし、P0から実軸の正の方向に1進んだ点をP1とする。
1
次に、P1を中心として45°回転して向きを変え、---- 進んだ点をP2とする。
浮Q
以下同様に、Pnに到達した後、45°回転してから前回進んだ距離の1/浮Q倍進んで
到達する点をPn+1とする。
この時、点P10が表す複素数を求めよ。
ま、よーするに左のような動きを繰り返してゆくわけですわ。その10回目はどこにおるかっちゅーこと。
【解】
--→
--→ --→
ここで、P0P1,P1P2,P2P3,・・・・・・・・を表す複素数は、順に1,α,α2,・・・・となる。
よって、
--→ --→ --→
--→
--→
P0P10=P0P1+P1P2+P2P3+・・・・・・+P9P10を表す複素数は、
初項1,公比αの等比数列の第10項までの和にあたり、
1−α10
1+α+α2+・・・・・・・+α9=----------
・・・・・・・・・・Aを得る。
1−α
ここで、
1 10
α10=(----)
{cos(45°×10)+isin(45°×10)}
浮Q
i
=--- ・・・・・・・・B より、
32
よって、@Bより、Aは
i
1− ----
32
A=---------------
1
1− ---(1+i)
2
32−i
=---------
16−16i
33 31
=--- + ---i
32 32