複素数と行列との関係について
 

　コッホ曲線を複素数による表現と，行列による表現の２通りで表したように，
ベクトル的な考え方から，この二者は，表現は違えど同一の事を表している。
 

　複素数ｚ＝ａ＋ｂｉは，(ａ，ｂ)と考えて、複素数平面上に図示することが出来る。
これは歴史的にみると，ウェッセル，アルガン，ガウスらによって公にされたが，
それとは別に，ハミルトンは単なる実数のペア(ａ，ｂ)と同一視して，
次のような定義を与えた。

　　加法は　　ａ     　　 ｃ    　　　　　  ａ＋ｃ
               （　　） ＋（　　　）   ＝　（　　　　　）
           　　   ｂ    　　  ｄ  　　　　　    ｂ＋ｄ

　　　これは，(ａ＋ｂｉ)＋(ｃ＋ｄｉ)＝(ａ＋ｃ)＋(ｂ＋ｄ)ｉ　を表し，
 

    乗法は    ａ   　　　 ｃ  　　　　    ａｃーｂｄ
               （　　） ・（　　　）   ＝　（　　　　　　）
             　　 ｂ 　　   ｄ     　　　　　 ａｄ＋ｂｃ

　　　これは，(ａ＋ｂｉ)×(ｃ＋ｄｉ)＝ａｃ＋ａｄｉ＋ｂｃｉ＋ｂｄｉ²
                                                              ｉ²＝ー１より
                                    ＝ａｃ＋ａｄｉ＋ｂｃｉーｂｄ
                                    ＝(ａｃ−ｂｄ)＋(ａｄ＋ｂｃ)ｉ　を表す。
 

　これらはまさに行列的な概念であるが，このように複素数を代数的に定義した
ことより，それまで空想上の数であった虚数が現実感を持ってきた。こういった
ことから発展して，現在では虚数（複素数）が正当性を得ている。
 

　虚数単位ｉは，行列で表すと，
            　 ０　ー１
     ｉ＝（　　　　　）                と書くことが出来る。
             　１    ０

　これは，ｘ＋ｙｉが，ｉ(ｘ＋ｙｉ)＝ｙｉ²＋ｘｉ＝ーｙ＋ｘｉ
         　 (ｘ，　ｙ)　　　→　→　→　→　→　→ 　　 (ーｙ，ｘ)となること。
 

　つまり，　　ｘ      が，　　　０　ー１ 　　 ｘ      　　　 ーｙ   　　　 となることを意味する。
            （　　　）            （　　　　　）（　　　） ＝　（　　　　）
          　　  ｙ            　　  １　　０ 　　　 ｙ      　　　   ｘ
 

  例えば，ｚ＝２＋３ｉは，複素数平面上では(２，３)の座標で表されるが，　
９０゜の回転で座標(ー３，２)つまり，ｚ'＝ー３＋２ｉに移るが，これは，

           　　　   　　 　  　　　 ０　ー１　　 ２ 　    　　　  ー３
  ｚ'＝ｉｚ すなわち  ｚ'＝ （　　　　　）（　　　）　　＝  （　　　）         のことである。
             　　　     　　　　　  １    ０ 　　　３   　　　　      ２