連続かつ微分不可能な関数について

  古来数学で扱っていた関数は，十分に滑らか(微分可能)なものであった。
滑らかさに欠ける関数は数学上「病的」なもの，とかたずけられていた。
しかし，近年ではそういった関数は，自然界に日常的に存在していることが
分かってきた。微分不可能な曲線についての研究は，現実の自然現象の解明
のために，実用性・重要性が認識されつつある。
　またそれらの関数には，自己相似性という共通した特徴がみられる。
 
 

　高木関数に関して

　高木貞治は１９０３年に，幾何学的考察により区間［０，１］において連続
かつ，いたるところ有限な微分係数をもたない関数を作ってみせた。
以下の通りである。

　        　　　２ｘ  　　　(０≦ｘ≦１／２)
　φ(ｘ)＝｛
　　      　　　２(１ーｘ)　(１／２≦ｘ≦１)     としたとき
 

          　　φ(ｘ) 　　  φ²(ｘ) 　　  φ³ (ｘ)　　   φ⁴ (ｘ)  　　　　　　　 φⁿ(ｘ)
  Ｔ(ｘ)＝------＋--------＋--------＋--------＋……＋--------＋……
         　　  ２  　　     ２²      　　　 ２³       　　　　２⁴       　　　　　　　２ⁿ

             　　φⁿ(ｘ)
　　　　＝Σ--------
             　　　２ⁿ

　を考える。

　図形的には，各段階ごとに下図のようになっている。また，後述のように
その図形は，自己相似の特徴を備えている。

 
ＢＡＳＩＣでのプログラムは下記のとおりである。