５　複素数と行列との関係について

　４(1)(2)で，コッホ曲線を複素数による表現と，行列による表現の２通りで表
したように，ベクトル的な考え方から，この二者は，表現は違えど同一の事を表
している。

　複素数ｚ＝ａ＋ｂｉは，(ａ，ｂ)と考えて、複素数平面上に図示することが出
来る。これは歴史的にみると，ウェッセル，アルガン，ガウスらによって公にさ
れたが，それとは別に，ハミルトンは単なる実数のペア(ａ，ｂ)と同一視して，
次のような定義を与えた。
　　加法を
　　ａ 　　 　ｃ 　　　　ａ＋ｃ
　( 　) ＋ (　　) ＝ (　　　　 )　
　　ｂ 　　　ｄ 　　　　ｂ＋ｄ
乗法を
　　ａ 　　ｃ 　　　　ａｃーｂｄ
　(　　)・(　　) ＝ (　　　　　 )　
　　ｂ 　　ｄ 　　　　ａｄ＋ｂｃ

　これらはまさに行列的な概念であるが，このように複素数を代数的に定義した
ことより，それまで空想上の数であった虚数が現実感を持ってきた。こういった
ことから発展して，現在では虚数（複素数）が正当性を得ている。

　虚数単位ｉは，行列で表すと，
　　　　０　ー１
ｉ＝ ( 　　　　　　) と書くことが出来る。
　　　　１ 　　０

例えば，ｚ＝２＋３ｉは，複素数平面上では(２，３)の座標で表されるが，　
９０゜の回転で座標(ー３，２)つまり，ｚ'＝ー３＋２ｉに移るが，これは，
　　　 　　 　　　　　　　　 ０　ー１　　　２ 　　　　ー３
ｚ'＝ｉｚ すなわち ｚ'＝ (　　　　　　 )( 　　)　＝ (　　　 ) のことである。
　　　 　　　　　　　　　　 １ 　　０ 　　　３ 　　　　　２