三角比の微分公式      　(sinX)'=cosX  を表す。

微分の定義より，

　　　　　　　　　sin(X+ΔX）−sinX
（sinX）’＝lim------------------
　　　　 　^ΔX→0　　　ΔX

分子に加法定理を使うと，
　
　　　　　　　　　sinXcosΔX＋cosXsinΔX−sinX
　　　　　＝lim----------------------------　　
　　　　　　^ΔX→0　　　　　　   ΔX

分子を整理して，
　
　　　　　　　　　sinX(cosΔX−1)＋cosXsinΔX
　　　　　＝lim----------------------------　　
　　　　　^ΔX→0　　　　　　　ΔX

更に，極限を２つに分割して考えると，

　　   　　　　　　　　  　　cosΔX−1　　　　      　　　 　 　 sinΔX
　　　　　＝sinX × lim-----------　＋　cosX × lim----------　　…………※
　　　　 　　　　   ^ΔX→0　  ΔX　　　　　         　^ΔX→0　  ΔX　

となる。

　
最初に，※式の右半分の極限を考える。
ΔX＝hとおいて，

　 　　　　　　　　 sinΔX　　　　 　    　　　sinh
　　　　　　　lim----------　=　　lim--------　を示す。
　　　　　　^ΔX→0　 ΔX　　　       　^h→0　 　 h　　
　
単位円において，下図のような三角形�@と扇形�Aと三角形�Bの面積を考える。
 

�@	�A	�B		動く図
			これは

であり，明らかに，�@＜�A＜�Bである。
面積の関係を式で表すと　
　　1　       　     　　　1　　 　   1
　----sinh･cosh＜----h＜----tanh
　　2　       　 　　      2　　　    2

が成り立つ。全体に　2/sinhをかけると，
　   　 　　　　h　　       　　1
  cosh＜--------＜--------
　　    　　　sinh　     　　cosh

更に，逆数を取ると不等号の向きが逆転し，
　　1　　　　      sinh
--------＞---------＞cosh
　cosh　　　      　h
 

極限を取ると，
 　　　　1　　　　       　sinh
lim--------＞lim---------＞lim cosh
^h→0　cosh　  　^h→0　    h　  　 　^h→0

　
この式において，左の項と右の項について，
　    　　　1　　　　　
 lim　--------　＝　lim cosh　＝　1　だから，
^h→±0　 cosh　　   　^h→±0

（±0とは，正の方から0に近づけることと，負の方から0に近づけることを意味している。）

よってはさまれた，中央の項の極限値， （挟み撃ちメソッド）
　 　　sinh
lim---------　＝　1　となる。
^h→0　 h　　

これは，原点におけるsinXの傾きが１となることを示している。

次に，※式の左半分の極限を考える。

ΔX＝hとおいて，

　 　　   　cosΔX−1　　　　    　　　　cosh−1　
　　　lim--------------　＝　lim----------   を示す。
　　^ΔX→0　   ΔX　　　　       　^h→0　　   h

分母分子に(cosh＋1)をかけて，
　
　  　　cosh−1　　　　　    　　(cosh-1)(cosh+1)
lim------------　＝　lim------------------
^h→0   　h　　　  　  　　^h→0　　   h(cosh+1)

　　   　　　　　　　　　　　 　cos²h-1
　　　　　　　　　＝　lim-------------　　
　　　　　　　　　　　^h→0　　 h(cosh+1)
　
　    　　　　　　　　　　　　−sin²h
　　　　　　　　　＝　lim-------------　　
　　　　　　　　　　　^h→0　  h(cosh+1)

　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　sinh　   　　　  　1
　　　　　　　　　＝　−（lim　sinh）(lim------)(lim----------)　　
　 　　　　　　　　　　　　^{h→0　　　 　h→0}　　h　　^h→0　 cosh+1

　          　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1
　　　　　　　　　＝　−1×　( 0 )　×　( １ )　×　-------
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　        ( 1 + 1 )
　　　　　　　　　＝　 0
を得る。
 

よって，最初の※式は
　　  　　　　　　　　　　　   cosΔX−1　　　　 　        　　　 　sinΔX
　　(sinX)’＝sinX × lim-----------　＋　cosX × lim----------
　　　　　　　　　  　　^ΔX→0　   ΔX　　　　　　  　   　　^ΔX→0　 ΔX　
　
　　　　　　＝　sinX　×　0　＋　cosX　×　1

　　　　　　＝　cosX

となる。