シェルピンスキー　ギャスケット　テトラへドロン

生徒が，こんな立体を製作したことから，話が始まっている。

　以前も，ワタシのHPでシェルピンスキーギャスケットについて，偶奇性など論じたが，（それはここなど）今回は正四面体テトラへドロンとの関係を，実際の授業の中で展開してみた。
　上記の実物立体模型と，アニメーションで作成された１段階から４段階目までの状態を，よーく見てもらいたい。不思議な図形と認識していただけるだろう。
　まずは正四面体について，詳細を書くと下記のような特徴が挙げられる。高校入試程度の問題として扱われるようだ。（三平方の定理の実際の演習としては最適であろう。）

S'とSとｈとVとが計算されている。これが１段階目の姿である。これを基礎として，４段階に渡って表面積や体積などを調べた。

　数学基礎という科目を教えている。その中で，正三角形を利用した正多面体の作成というテーマがあり，実際にケント紙を切って製作していた。夏休みの宿題として，「正三角形をたくさん利用して，”おもしろそうな”立体を作成する事」と出したところ，生徒の製作してきたものがこれであった。生徒自身，これがフラクタルであるとか，シェルピンスキーギャスケットなどとは，知らなかった様子であったが，作っていくうえで”発見”したのであろう。

　せっかく作ってきたので，ワタシの研究テーマのフラクタルと絡めて，これを素材にあと数時間授業を展開した。正四面体の特徴から，表面積・体積などと展開して，段階を１から４段階に進めてゆくにつれて，表面積はどのように変化するか，体積はどのように変化するのかを調べてみた。これが今回のこのページの作成のきっかけとなったものである。

　大学入試問題においても，これらフラクタル構造化を進めていく上で，段階ごとに調べさせることによって，数列や極限・微分積分との融合として出題されているものが散見される。

　実際の結果としては，表面積は段階が進んでも√３で一定のままであった。

しかし，体積は，最初の段階が√2／12であり，段階を追うごとに半分になっていく事が分かった。

最後に，表面積が変わらないのに体積の極限は０に近づくという部分がフラクタルの所以であり，一般的な概念と異なるところである，とまとめたが，極限の概念も学習していないところでの授業展開であったため，面白くもあり難しくもあったと思われる。

Needs["DiscreteMath`Combinatorica`"];

{v1, v2, v3, v4} = {{0,0,0}, {2,0,0},{1,1.732,0}, {1,0.5774,1.633}};

mp[x1_, x2_] := 0.5 (x1 + x2);

SetAttributes[maketet,Listable];

maketet[tet[{v1_, v2_, v3_, v4_}]] :=
{tet[{v1, mp[v1,v2], mp[v1,v3], mp[v1,v4]}],
tet[{v2, mp[v1,v2], mp[v2,v4], mp[v2,v3]}],
tet[{v3, mp[v1,v3], mp[v3,v4], mp[v3,v2]}],
tet[{v4, mp[v1,v4], mp[v2,v4], mp[v3,v4]}]};

makepolyrules =
tet[{a_, b_, c_, d_}] ->
With[{verts = KSubsets[{a,b,c,d}, 3]}, Map[Polygon, verts]];

Do[
Show[GraphicsArray[
Partition[
Graphics3D[#, Boxed->False, ViewPoint->{2 Cos[n],2 Sin[n],0.4}]&/@
NestList[maketet, tet[{v1,v2,v3,v4}],3] /. makepolyrules,4]]];
,{n,0,2 Pi,0.1}
]