（アポロニウスの円　奇跡の軌跡・・つ，つまらん。。。）
 
（問題） 
　 
２定点Ａ（-5,0）とＢ（1,0）とから，距離の比が2：1であるような 
点Ｐの描く軌跡を求めよ。 
 
　 
　（図中の薄い青の線分の長さが， 
　濃い緑の線分の長さの２倍であるということである。） 
　 
 
（解） 
Ｐ（ｘ，ｙ）とおくと，ＰＡ：ＰＢ＝2：1は，ＰＡ＝２ＰＢである。 
　 
よって　　　　　　　　　　　　　√(ｘ＋５)２＋ｙ２＝２√(ｘ−１)２＋ｙ２　平方して 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(ｘ＋５)２＋ｙ２＝４｛(ｘ−１)２＋ｙ２｝ 
　　　ｘ２＋１０ｘ＋２５＋ｙ２−４ｘ２＋８ｘ−４−４ｙ２＝０ 
　　　　　　　　　　　　　　　３ｘ２−１８ｘ＋３ｙ２−２１＝０ 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ２−６ｘ＋９＋ｙ２＝７＋９ 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(ｘ−３)２＋ｙ２＝４２ 
　 
　　　　　　　　　　　　つまり，中心(３，０)　半径４の円を描く。 
 
【解説】 
　 教科書通りの解では，味も素っ気も無いため，こんな見方も出来る。 
　 
Ａ（-5,0）とＢ（1,0）とから，距離の比が2：1だから， 
ｘ座標の-5と1について，2：1に内分する点は， 
　−５×１＋１×２　 　　　　　−３ 
　----------------　＝　------　＝　−１　（ｘ軸上の左端） 
　　　　２＋１　　 　　　　　　　　 ３ 
　 
ｘ座標の-5と1について，2：1に外分する点は， 
　−５×(−１)＋１×２　　　　　　　７ 
　------------------　＝　------　＝　 ７　（ｘ軸上の右端） 
　　　２＋(−１)　　　　　　　　　　  １ 
　 
つまり，直径の両端のｘ座標がわかったことになり， 
中心のｘ座標は， 
　 −１＋７　　　　　６ 
　-------- ＝　----　＝　３　であり， 
　　　２　　　　　　　 ２ 
半径は， 
　 ７−(−１) 
　--------- ＝　４　の円を描くことがわかる。 
　　　２ 

　これらは，アポロニウスの円と呼ばれる。軌跡の歴史的かつ典型的問題だ。 
　またその図形も非常に美しい。動く軌跡は紙には表現できない！！！
　リンクとして・・・・・・http://www.nikonet.or.jp/spring/aporo/aporo.htm　など面白いですよ。