今回は，その空間図形の授業の中で，回転体（solid of revolution）の体積という出題に関して，
動く図形を作図した。先輩の先生は，手作りの竹ひごと針金の教材で，ある直線に関して
ねじれの位置にある線分が回転すると回転双曲面(hyperboloid of revolution or circular hyperboloid)が得られる
と言う事を実際に手にとって実演されていた。
イメージの難しいものは，実際にやってみると案外簡単なものだったりする。
私にできることは，それをＰＣ上で再現しいつでも，どこでも，モノがなくて
もイメージできるようにすることである。

前置きが長くなった。以下の問題に関してこの回転体の体積を考える。

線分ＡＢ上の点Ｐと，ｚ軸上の点Ｒ（0，0，ｔ）との距離（最短距離のこと）がじわじわと変わっている。
断面は円であるので積分で求まるわけである。
ちなみに，Ｐの座標は，（-ｔ+1，1，ｔ）となり，ＲＰのベクトルの大きさが
　 →　　　　------------------
｜ＲＰ｜＝√（ｔ−１）＾２＋１　　となる

あ，ちょっと書きづらいので，以下の図のような解が得られるとしておこう。

ただABを立体的に示すと下図のとおり。

実際に回転させるとこんな感じが出来上がる。

この解答は，実際に動く図をイメージできると簡単なのかもしれないが，初見では，（少なくとも私にとっては難しかった！）かなり大変なものと思われる。以下動かしますよ〜〜〜〜

残像を残す設定をすると，美しいですねぇ。。。

更に，視点をずらしていくと，これまた美しい！！

ポイントとしては，ねじれ回転体は双曲面，だとか，ｚ軸からの距離が変化する，
だとか，ベクトルとその大きさと積分の関係，だとか，ひょっとすると，
その積分もハノイの塔あたりを知っているかいないかにもよるのかもしれない。
総合的な力が，イメージ力であり，計算力であるのだろう。

そうそう，立体視できるというスンバラシイ図もおまけにつけておきます。
これをモニターから３０ｃｍ離れた地点から見ると，手に取るように分かります。
おすすめです〜〜〜。

これらのデータはこちらからダウンロードしてください。

senbun-kaiten-zannashi.gp3　　senbun-kaiten-zanari.gp3　　sankaku-kaiten-zanari.gp3

実際に入試問題としては，東京大学2008の正八面体が有名である。回転体は，
ルービックキューブで遊んだ事ありますか？という問いなのかもしれない？
ちなみに正八面体は，regular octahedronである。

東京大学の問題も，回転体をGIFアニメ化してみた。イメージできると，そんなに難しく見えないから不思議だ。
ちなみに東京大学の入試結果によると，この問題を解けなくても入学できているそうである。
難問で捨て問の部類に入っていたのだろうか。

動いて残像のこして，八面体もねじれ！

データはこちらから。　octahedron-anime.gp3

（エピローグ）
先輩の授業で私もイメージ力を試された感がありました。
生徒たちもじっと一点を見つめ，頭の中ではフル回転していたことでしょう。
もし，そのときの生徒たちがこれを見ていたら，思い出した？あれって，PC上では，
こんな感じで動くのよん・・・と伝えたい。みんな合格に向けて，数学挑戦しようぜ〜〜！

（作画メモ）
３D-Grapesを利用してみました。
これを使うと，データのダウンロードで，自分のPCでも動かす事ができます。
3D-Grapesとは，フリーの3次元空間図形作画ソフトです。こちらからどうぞ。上記の”データ”はそれです。
3D-GRAPES 1.51
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

Mathematicaで出来ないの？という問を同僚の先生から受けたのですが，
出来るけど，かな〜りめんどくさくなりそうだったので，やめました。
アニメ化は，いつものGiamです。
数式は，数研出版Studyaidです。
CaptureXPで，画像化して取り込みました。

今回は使ってませんが，Free回転体forWin32というフリーソフトがあります。
これは，切断面を２次元的に描画すると，回転体を作図してくれる優れもの
です。積分を学びたい教員，生徒は是非ぜひどうぞ。面白いっすよ。
Free 回転体 for Win32
http://homepage1.nifty.com/heroicus/kaiten32/kaiten32index.htm