（逆数グラフのイメージ）　2013.3.4
       multiplicative inverse

　

今年度の郷中ゼミという授業で，「逆数グラフのイメージ」というものを提案した。

逆数イメージって？に関する動画でのまとめ。

逆数 (ぎゃくすう, multiplicative inverse) とは，

ある 0 でない数に対し、乗算 (掛け算) した結果が 1 になる数のことである。

具体的には， 0 でない数 a に対する逆数は，1/a あるいは a-1 と表される。

つまり，分数の逆数は単に上下（分母と分子）を入れ替えただけである。

　

下の二つの赤と青のグラフを比較してほしい。

　青のグラフは，中学校３年生で学習する２次関数で，y=x2+1 の状態である。

　それに対して，赤のグラフは，正式には高校３年生辺りの数学Ⅲで登場する分数関数のグラフであり，y=1/（x2+1） を描いている。 

で，

何が言いたいかというと，こんなに学習時期が３年間も離れているのだが，逆数的発想だったら同時にできるでしょ？

ってことである。

以下のアニメを見て欲しい。

これは，先ほどのグラフが，a=1の瞬間のことであり，一般的に，y=x2+a と，y=1/（x2+a） を描き，aを変化させている。

逆数とは，y=1（グラフ内の緑点線）に対して，上下反転するイメージである。

もう少し具体的に言うと，x=3においてのポイントを見るなら，32=9なのか，1/32=1/9 なのかの違いである。

これが，例えば，x=1/3においては，更にその逆と考えられ，1/9なのか，9なのかである。

つまり，∞においては，1/∞＝0を意味し，0においては，1/0＝∞を意味しているのである。（分かる？？）

ところで，私は，赤グラフの方を富士山状のグラフと称している。

　

日本の小学校においては，

小学6年生で分数の掛け算・割り算について学習する際に，逆数について学習する。 (実際には具体的な数を用いる)

そこにおいて，aで割ることと，1/aを掛けることが同じ結果を得ることなどを学ぶ。

この事が中学校の課程において，加法における逆元，つまり負の数について学ぶ準備になっている。

さらにはこのページで述べたように，高等学校での分数関数のイメージ作りに一役買っている。（準備だったと気づいていたか？）

　

　

まとめ

結局何だったかというと，長くなったが，逆数というものはイメージできるということです。

上下反対，とか

大きいほうが小さい，とか，小さい方が大きいとか，

こんなことを想像できるってのが，数学の面白さでしょうね～～。自由ですね～。

　

参考資料は，こちらから。2012.8の郷中ゼミ資料

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