（直線と円との共有点の個数）　　　　　2002.5.25
 
（問題）

直線　２ｘ＋ｙ＋ｎ＝０　と　円　ｘ２＋ｙ２＋２ｙ−４＝０　の共有点の個数を調べよ。

（教科書の例題に取り上げられる代表的問題である。）

（解） 

直線の式をｙ＝−２ｘ−ｎと変形し，円の式に代入すると，
ｘ２＋（−２ｘ−ｎ）２＋２（−２ｘ−ｎ）−４＝０　となり，整理すると
５ｘ２＋（４ｎ−４）ｘ＋ｎ２−２ｎ−４＝０　となる。

共有点の個数は，この式の解の個数に一致するので，判別式Ｄ＝ｂ２−４ａｃは，
Ｄ＝（４ｎ−４）２−４・５（ｎ２−２ｎ−４）
　＝−４（ｎ＋４）（ｎ−６）　となる。

（i）Ｄ＜０　つまり　ｎ＜−４，ｎ＞６のとき　共有点なし

（ii）Ｄ＝０　つまり　ｎ＝−４，６のとき　共有点１個

（iii）Ｄ＞０　つまり　−４＜ｎ＜６のとき　共有点２個

【解説】 

一般には，上記模範解答のように，判別式Ｄを利用し，解が存在するか／重解を持つか／虚数解か。の三パターンで解答してゆくのが通常であろう。その際の不等式または方程式を解くことによって，ｎの範囲や値は求まる。

しかし，あえて，いつものごとく言いたい。

 「それでいいのか？図形的意味は？ｎは何なの？」である。

そこで，下図をご覧いただきたい。

その円は固定される。（中心が（−１，０）で半径√５である。）その上にｎがいろいろと変化する直線を書き込んでみた。
つまり，ｙ＝−２ｘ−ｎという式は，ｙ切片の座標を変えながら，平行移動させているわけである。
下図中央のｙ軸に注目していただきたい。青・赤・黄の色の違いが理解いただけるだろうか？ｎ＝４，−６が見て取れるはずである。しかし，ｙ切片が−ｎであるため，結果的には，ｎの値は，−４と，６を境界とすることが理解されよう。

　端的に例えて言うならば，団子に串が刺さっているのか，引っ付いているのか。である。
 

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