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(解)
単位円(原点中心,半径1の円)において, 始めの位置として,A(cosα,sinα),B(cos(−β),sin(−β))=(cosβ,−sinβ)をおく。 AB2=(cosα−cosβ)2+(sinα+sinβ)2 =cos2α−2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+sin2β =2−2(cosαcosβ−sinαsinβ)・・・・・・・・・・(T) 次に, OABの三角形を,OBをX軸正方向と重なるように回転させ,AがC,BがDの座標になったとすると, C(cos(α+β),sin(α+β)),D(1,0)となり, CDの2点間の距離は, CD2={cos(α+β)−1}2+sin2(α+β) =2−2cos(α+β)・・・・・・・・・・(U) ここで三角形の辺として,AB=CDだから,(T)=(U)より, cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβである。 授業では,「コスモスコスモス咲かない咲いた」
また, sin(90°+θ)=cosθ cos(90°+θ)=−sinθ より sin(α+β)=−cos{90°+(α+β)} =−cos{(90°+α)+β} =−{cos(90°+α)cosβ−sin(90°+α)sinβ} =−(−sinαcosβ−cosαsinβ) =sinαcosβ+cosαsinβ こちらは,「咲いたコスモス,コスモス咲いた」
【解説】
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