(2)(1)と同様に考えて、Ln=3(1+2a)n−1
(3)F1の1辺の長さの2乗の和は、1
1
F2の1辺の長さの2乗の和は、(----−a)2×2+(2a)2×2
2
1
=10a2−2a+---- …………@
2
これは、1回の操作で、どの辺の2乗の和も、@倍になることを意味しており、等比数列をなす。
よって、S1=3より
1
S2=3(10a2−2a+----)
2
(4)(3)と同様に考えて、
1
Sn=3(10a2−2a+----)n−1
2
(5)長さlの1辺に対して、新たに付け加えられる面積は、
1
2al×浮Ral×----=浮Ra2l2
2
これは、FnからFn+1を作るときの、全ての辺についていえる。
よって、新たに加える面積の総和は、
浮Ra2l2のl2の部分は、1つの辺についてだから、
全ての辺については、浮Ra2(l2+l2+……)
つまり、浮Ra2×(すべての辺の長さの2乗の和)であり、
Snの浮Ra2倍と言える。
(6)Fnの面積をTnをおく。n≧2のとき、
Tn=T1+浮Ra2S1+浮Ra2S2+…………+浮Ra2Sn−1
浮R
=----+浮Ra2(S1 +S2+…………+Sn−1)
4
浮R
n-1
1 k−1
=----+浮Ra2Σ 3(10a2−2a+----)
4
k=1
2
1
1
0<a≦----のとき、10a2−2a+----≠1より
6
2
1 n−1
1−(10a2−2a+----)
浮R
2
=----+3浮Ra2 -------------------------
4
1
1−(10a2−2a+----)
2
である。これは、n=1のときも成り立つ。