従来の数列の問題を複素数平面で考える

問　ａ，ｂを定数とする。X_n+1＝ａX_n＋ｂX_n-1の数列｛X_n｝の一般項を求めよ。
                                               ただし，X₁＝X₀＝１である。

解　行列を用いると，

        X_n    　  ０　１　  X_n-1          　　　　　         ここで，   　   　X_n       　　　　　　        １
     （     ） ＝（　　　）（　　　）……�@と表される。 　　　     Ｘ_n ＝（　　　）       より，Ｘ₀＝（　　）
       X_n+1    　 ａ　ｂ 　  X_n                                　　　　　 　　　　X_n+1             　　　　　 １

　　�@は，X_n＝ＡX_n-1とかける。
             ＝Ａ･ＡX_n-2
             ＝Ａ･Ａ･ＡX_n-3
                  ：
             ＝Ａ_nX₀　となる。
 
               　　　　  ０　１           　　　　　　  ０　１    _n
　　ここで，Ａ ＝（　　　　　）　   から，Ａⁿ＝（　 　　　）　         について考えると，
                 　　　  ａ　ｂ            　　　　　　  ａ　ｂ
　　ＡＹ＝ｋＹ，Ｙ≠０を満たす，２次の列ベクトルＹが存在するとき，
　　ｋをＡの固有値，Ｙを固有ベクトルといい，
          　　 ｐ                          　　　　　　　　０　１　　　ｐ    　　     ｐ
      Ｙ＝（　　　）     とおくと，ＡＹ＝ｋＹは， （　　　　　）（　　）＝ ｋ（　　　）   ……�Aとなり
          　　 ｑ 　　　　　　　                           ａ　ｂ 　 　 ｑ    　　　   ｑ
      ｑ＝ｋｐ
      ｂｐ＋ａｑ＝ｋｑ
　　が得られ，これより　ｋ²ーａｋーｂ＝０ ……�Bを得る。
　
　�Bの２解をｋ₁，ｋ₂とすると
　
　�Bは，  　０　１　　　　１        　　 １  　　　     ０　１　　１     　      １
            （　　　　　）（　　　）＝ ｋ₁（　　）     ，（        ）（    ）＝ ｋ₁（　　） 　   となり
           　　 ａ　ｂ 　　　 ｋ₁   　　     ｋ₁     　 　　ａ　ｂ 　  ｋ₂      　 　 ｋ₂
 
 　   　　              １    　　　　       １
    ここで，Ｙ₁＝（　　　）　， Ｙ₂＝（　　　） 　  ，Ｘ₀＝αＹ₁＋βＹ₂  とおくと，
               　　　   ｋ₁   　　　　       ｋ₂
 
                                       １ 　　　     １  　　　     １
                                    （　　）＝α（　　　）＋β（　　　）   　  より，
                                       １    　　　  ｋ₁ 　　　　    ｋ₂
　　一行目は，１＝α＋β
    二行目は，１＝αｋ₁＋βｋ₂ となり，
　　この２式より，

         　　　  １ーｋ₂   　　　　         ｋ₁ー１
      α＝----------　,　β＝----------  より，
         　　　  ｋ₁ーｋ₂   　　　　        ｋ₁ーｋ₂
 
　X₀＝αＹ₁＋βＹ₂は，
 
  　   １   　 　    １ーｋ₂ 　　　１ 　　    ｋ₁ー１   　　１
     （　　） ＝  ---------（　　　）+ --------（　　　）    　
    　  ０   　　　   ｋ₁ーｋ₂  　　ｋ₁   　　 ｋ₁ーｋ₂ 　　 ｋ₂
 
となる。

　　ＡＹ_i＝ｋ_iＹ_i　より，　Ａ＝ｋ_i
    Ａ²Ｙ_i＝Ａｋ_iＹ_i
       　  ：
　　　　　：
    ＡⁿＹ_i＝Ａ^n-1ｋ_iＹ_i
          ＝ｋ^n-1ｋ_iＹ_i
          ＝ｋⁿＹ_i　となる。
    Xⁿ＝ＡⁿＸ₀
       ＝Ａⁿ(αＹ₁＋βＹ₂)
　　   ＝αＡⁿＹ₁＋βＡⁿＹ₂
       ＝αｋ₁ⁿＹ₁＋βｋ₂ⁿＹ₂  となる。

　　これは，
 
　    X_{n      　　　　 n} 　　１         _n 　　１
    （　　　） ＝　αｋ₁ （　　　）＋βｋ₂ （　　　）   　  となり，
   　  X_n+1          　　　  ｋ₁      　　　　    ｋ_{2
     　　　　　　　     　　　　　 n  　　      n}
     第１行目は，X_n＝　αｋ₁ ＋ βｋ₂               つまり
 
                  　   １ーｋ_{2  　　　 n}　   ｋ₁ー１ 　    _n
                    ＝----------k₁ ＋----------ｋ₂   が一般項として言える。
                    　   ｋ₁ーｋ₂   　　　　     ｋ₁ーｋ₂
 

　これは，つまり
      X_n+1＝ａX_n＋ｂX_n-1  ただし，X₁＝X₀＝１  の一般項は，

          　　  １ーｋ_{2  　　 n}  　　 ｋ₁ー１    　　 _n
      X_n＝---------ｋ₁ ＋-----------ｋ₂   ただし，ｋ₁，ｋ₂はｋ²ーａｋーｂ＝０の解
          　　  ｋ₁ーｋ₂      　　 　 ｋ₁ーｋ₂

　ということを意味しているが，ａ，ｂを具体的に実数値をとると，非常に
興味深いことを表しているということが分かる。
 
以下の２つの例を参考にされたい。

　以上のような２つの例をあげたように，実際の数列は自然数だけで得られたり，または整数だけで
得られたりする漸化式について一般項を求めてみると，まったく関係の無い，無理数や，複素数まで
もが使われているということが分かる。
　三次方程式の解法でも述べたように，虚数というものは「実存せず，無視してよい」ものではなく，
表面上は複素数とは全く縁の無いように見えるものについても，その役割を演じているのである。