ただし，ＯＰ1＝１
１
Ｐ1Ｐ2＝---ＯＰ1
２
１
Ｐ2Ｐ3＝---Ｐ1Ｐ2
２
：
１
Ｐn-1Ｐn＝---Ｐn-2Ｐn-1
２ Ｐはどこに近づくか？
従来の極限の問題を複素数平面で考える
極限の代表的問題も，複素数平面の点の一次変換ととらえて，解くこともできる。以下，具体的に表してゆく。
問 右図のように，ＰがＯから順に，Ｐ1，Ｐ2，Ｐ3，……と進む。
ただし，ＯＰ1＝１
１
Ｐ1Ｐ2＝---ＯＰ1
２
１
Ｐ2Ｐ3＝---Ｐ1Ｐ2
２
：
１
Ｐn-1Ｐn＝---Ｐn-2Ｐn-1
２
Ｐはどこに近づくか？
解 一般に点Ｐnが表す点をＺｎとかく。ここで，Ｚ1＝１である。
---→
----→
Ｐn-1Ｐn＝ＺnーＺn-1 (ｎ≧２)である。
--→ ----→ --→ →
・Ｐ1Ｐ2＝Ｚ2ーＺ1は，ＯＰ1＝Ｚ1を９０゜回転して，長さを半分にしたものより，
１
Ｚ2ーＺ1＝---(cos９０゜＋ｉsin９０゜)×１
２
ｉ
＝---
２
--→ ----→ --→ ----→
・Ｐ2Ｐ3＝Ｚ3ーＺ2は，Ｐ1Ｐ2＝Ｚ2ーＺ1を９０゜回転して，長さを半分にしたものより，
１
Ｚ3ーＺ2＝---(cos９０゜＋ｉsin９０゜)×(Ｚ1−Ｚ2)
２
ｉ ｉ
＝---×---
２ ２
ｉ 2
＝(---)
２
：
： 一般化させて
ｉ nｰ1
ＺnーＺnｰ1＝ (---) としてよい。これは，階差数列が
２
ｉ
ｉ
初項--- 公比--- を意味するから，
２ ２
ｎ≧２のとき
n-1 ｉ
k
Ｚn＝Ｚ1＋
Σ (---)
k=1 ２
ｉ
ｉ n
--- ー (---)
これは，ｎ＝１のとき，
２ ２
＝１＋----------------
ｉ
Ｚ1＝１＋０＝１となり成り立つ。
１ー ---
２
よって，Ｚnの極限 limＺnは
ｉ
ｉ n
--- ー (---)
２
２
４ ２
４ ２
limＺn ＝ lim｛１＋----------------｝
＝ ----＋---ｉ つまり，Ｚnは点(---，---)に近づく。
ｉ
５ ５
５
５
１ー ---
２
以上のように，一般的には数列の極限の問題ではあるが，複素数の一次変換を使うこと
によって，更に意味が出て来ることが分かる。