「複素数平面を使って」とどこにも書いてないので、最初は戸惑うかも知れませんね。
でも、教科書レベルの複素数の基本的な問題です。
Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｐ，Ｑの点を間違えないようにするだけでしょう。
「回転・拡大・縮小・平行移動・実軸対称」これらは複素数平面の得意ワザです。

（解）
�@の操作は、ｚ→（cosθ＋ｉsinθ）ｚ 以下図中の�Cなどは関係ありません
�A　〃　　　ｚ→ｋｚ 
�B　〃　　　ｚ→ｚ＋（１＋１ｉ） 
よって一連の操作�@�A�Bで、ｚ→ｋ（cosθ＋ｉsinθ）ｚ＋（１＋１ｉ）となる。
この操作で、ＡがＱに移ったので、
　Ａ＝１＋０ｉ、Ｑ＝４＋５ｉとおくと、
４＋５ｉ＝ｋ（cosθ＋ｉsinθ）（１＋０ｉ）＋（１＋１ｉ）
　　　　＝ｋ（cosθ＋ｉsinθ）＋（１＋ｉ）
　　　　＝（ｋcosθ＋１）＋（ｋsinθ＋１）ｉ　となり、実部・虚部比較して
　４＝ｋcosθ＋１
　５＝ｋsinθ＋１
よって
　     　　　　３　　　　　　　     　　　 ４
　cosθ＝----　　　　　　sinθ＝----
　　　     　　ｋ　　　　　　     　 　　　ｋ
　　sin^２θ＋cos^２θ＝１だから
　　　 　 ３　　  　　 ４
　　　（----）^２＋（----）^２＝１　　　ｋ＝±５　　ｋ＞１より　　ｋ＝５
　　　 　 ｋ　　　　   ｋ
よって
　　　　     　３　　     　　　　　　　　 ４
　cosθ＝----　　　　　　sinθ＝----
　　　     　　５　　     　　　　　 　　　５

そして、これらを利用してＢの行き先を調べると、
           ３        ４
　　５（----＋ｉ----）（３＋２ｉ）＋（１＋１ｉ）＝（１＋１８ｉ）＋（１＋ｉ）＝（２＋１９ｉ）
　　　    ５        ５　
つまり、Ｂは、（２，１９）に移る。