フラクタル(fractal)は，フランスのマンデルブロー(1924)によって提案され
た概念で，ラテン語のフラクタス(fractus:意味は断片的)を語源とした造語であ
る。簡単な例をあげれば，川の全体図形は支流部分と形態が(折れ曲がり方など)
非常に似かよっている。また海岸線など，地図上でも入り組んでいるが，実際に
人間の眼で見ても同じように入り組んでいる。波打ち際だけに注目しても，同じ
ように複雑な曲がり方をしている。更に，シダやカリフラワーなどの植物は，全
体と相似な形から各パーツが出来上がっている。
このようなフラクタルという概念は，普段一般的に取り扱う放物線や直線と違
って，ある種，非現実的・非常識な印象を受ける。しかしこれは私たちが，理想
的なものしか取り扱っていなかっただけに過ぎず，マンデルブロー自身がそこか
ら発想したように，自然界にはむしろ直線で表せるものよりも，複雑な構成をし
ているもののほうが，現実的・常識的に存在しているのである。
マンデルブローは，こうしたことを次のように言っている。
「雲は球形ではないし，山は円錐形ではなく，海岸線は円周とは違う。
樹皮は滑らかでなく，稲妻は直線的には伝わらない。」
次にフラクタルの図形として有名なものを挙げてある。百聞は一見にしかずで，
見れば不思議な図形であると理解していただけると思う。これらのいたるところ
で，自己相似な図形が見えてくることが分かる。ただし，厳密に言うと，フラク
タル＝自己相似ではなく，左のように有界ながら無限の長さを持つなど，次元の
考えを用いて論じる必要がある。ちなみに，全出のコッホ曲線のフラクタル次元
は，約１．２６……である。
また，有名なものに，マンデルブロー集合・ジュリア集合といわれる興味深い
図形(下図のとおり)があるが，これは別の機会で紹介してゆきたい。マンデルブ
ロー集合については，以前ＮＨＫテレビで「知の世界」と題して紹介されたこと
がある。
図１ マンデルブロー集合
図２ ジュリア集合
このジュリア集合は，ｆ(ｚ)＝ｚ^2＋ａという簡単な複素力学系の２次関数
で表される。ジュリア集合とマンデルブロー集合とは，密接な関係を持ち，簡
単に言うと，ジュリア集合がどのような形になるかを，マンデルブロー集合が
決定している。ジュリア集合は，ａに適当な複素数（実数でも純虚数でもかま
わない）を代入し得られる図形である。最も単純な例で言うと，ａ＝０の場合
は原点中心の円になる。上の図は，ａ＝−０．１２＋０．７４ｉで描いてある。