スウェーデンの数学者コッホが，１９００年代初頭に考えだした。ガウス平面
において，図形の移動を特徴的にとらえて，興味ある曲線になっている。図は前
ページに挙げてあるがこのコッホ曲線は，２つの写像ｆ1(ｚ)，ｆ2(ｚ)から成り
立っている。
(1) ｆ1(ｚ)について
(複素数による表現) ｚ＝ｘ＋ｙｉと考えて
これらは、以下の３つの写像を組み合わせたものである。
__
@は，ｆ(ｚ)＝ｚ
Aは，
１
ｆ(ｚ)＝----ｚ
浮R
Bは，ｆ(ｚ)＝(cos30゜＋ｉsin30゜)ｚ
１ ー
ｆ1(ｚ)＝----(cos30゜＋ｉsin30゜)ｚ となり
浮R
１ 浮R １ ー
＝----(----＋----ｉ)ｚ
浮R ２ ２
１ 浮R ー
＝(----＋----ｉ)ｚ
２ ６
１ １ 浮R 浮R
＝----ｘー----ｙｉ＋----ｘｉ＋----
２ ２ ６ ６
１ 浮R 浮R １
＝(--ｘ＋----ｙ)＋(----ｘー--ｙ)ｉ
２ ６ ６ ２
(行列による表現)
ｘ
ｚ＝ ( )と考えて
ｙ
@は，
ｘ’ １ ０ ｘ
( ) ＝ ( )( )
ｙ’ ０ ー１ ｙ
Aは，
ｘ’ １ ｘ
( ) ＝ ---- ( )
ｙ’ 浮R ｙ
Bは，
ｘ’ cos30゜ ーsin30゜ ｘ
( ) ＝ ( )( )
ｙ’ sin30゜ cos30゜ ｙ
１ cos30゜ ーsin30゜ 1 0 ｘ
ｆ1(ｚ)＝---- ( )( )( )
浮R sin30゜ cos30゜ 0 -1 ｙ
浮R １
---- ー---- １ ０ ｘ
１ ２ ２
＝---- ( )( )( )
浮R １ 浮R
---- ---- ０ ー１ ｙ
２ ２
浮R １
---- ---- ｘ
１ ２ ２
＝---- ( )( )
浮R １ 浮R
---- ー---- ｙ
２ ２
１ 浮R
---- ---- ｘ
２ ６
＝ ( )( )
浮R １
---- ー---- ｙ
６ ２
１ 浮R
----ｘ＋----ｙ
２ ６
＝ ( )
浮R １
----ｘー----ｙ
６ ２
(2) ｆ2(ｚ)について
これらは、以下の５つの写像で成り立っている。
@ 左へー１平行移動
A 実数軸を対称軸として反転
１
B ----倍に縮小
浮R
C 原点を中心に−30゜回転
D 右へ＋１平行移動
(複素数による表現)
１ ー
ｆ2(ｚ)＝----(cos(−30゜)＋ｉsin(−30゜))(ｚー１)＋１ となり
浮R
１ 浮R ー １ 浮R
＝(----ー----ｉ)ｚ＋(----＋----ｉ)
２ ６ ２ ６
１ 浮R １ 浮R １ 浮R
＝(----ｘー----ｙ＋----)＋(ー----ｘー----ｙ＋----)ｉ
２ ６ ２ ６ ２ ６
(行列による表現)
１ cos(-30゜) ーsin(-30゜) 1 0 ｘー１ １
ｆ2(ｚ)＝---- ( )( )( )＋( )
浮R sin(-30゜) cos(-30゜) 0 -1 ｙ ０
１ 浮R １
----ｘー----ｙ＋----
２ ６ ２
＝ ( )
浮R １ 浮R
ー----ｘー----ｙ＋----
６ ２ ６
以上の(1)(2)のように，図形変換という立場からみて見て，同一のものを複素数
と，行列という方法で２通りの表現が出来る。
前出の２つの写像で，ｆ1(ｚ)Ｕｆ2(ｚ)という集合方程式を考えると，その解が，
コッホ曲線となっている。(下図参照)
１辺の長さ × 辺の数 ＝ 全体の長さ
@
１ × １ ＝ １
A
１ ２
---- × ２ ＝ ----
浮R 浮R
B
１ ４
---- × ４ ＝ ----
３ ３
C
１ ８
------ × ８ ＝ ------
３浮R ３浮R
D
１ １６
---- × １６ ＝ ----
９ ９
・ ・ ・ ・ ・
・ ・ ・ ・ ・
・ ・ ・ ・ ・
・ ・ ・ ・ ・
ｎ
１ n-1 ２ n-1
(----) × ２^(n-1)＝(----)
浮R 浮R
２ n-1
最終的な長さＬnは，Ｌn＝ (----) となり，ｎ→∽とすると，Ｌn→∽
浮R
となり，これは，無限大の長さを有限範囲で持つという非常識なことを意味して
いる。(それゆえ，フラクタルとも呼ばれている。)