３　オイラーの公式について

ｅ＾iθ＝cosθ＋ｉsinθは，指数関数と三角関数・複素数との非常に美しいハ
ーモニーをなしている。これは，以下のように２通りに考えられる。

　�@　実数と同様の微分方程式でこの公式の意味を考えると，
cosθ＋ｉsinθを，θに関する関数ｆ(θ)ととらえて，
ｆ(θ)＝cosθ＋ｉsinθ　とおくと，
　　ｄｆ(θ)
--------＝(cosθ)'＋(ｉsinθ)'
　　ｄθ
　　　　　　＝−sinθ＋ｉcosθ
　　　　　　＝ｉ＾2sinθ＋ｉcosθ
　　　　　　＝ｉ(ｉsinθ＋cosθ)
　　　　　　＝ｉｆ(θ)
　　また，ｙ(０゜)＝cos０゜＋ｉsin０゜＝１である。
ここで，
　　ｄｆ(θ)
--------＝ｉｆ(θ)　より，
　　ｄθ

　　１
------ｄｆ(θ)＝ｉｄθ
　ｆ(θ)

　　　 １
��------ｄｆ(θ)＝�窒奄сﾆ
　　 ｆ(θ)

log|ｆ(θ)|＝ｉθ＋Ｃ
ｆ(θ)＝±ｅ＾(iθ+C)
　　　＝±ｅ＾C・ｅ＾iθ
また，
ｆ(０゜)＝±ｅ＾C・ｅ＾iθ゜＝１　より　 ±ｅ＾C＝１
∴ｆ(θ)＝ｅ＾iθ
よって，ｅ＾iθ＝cosθ＋ｉsinθが言える。

　�A　マクローリンの定理でこの意味を考えると，
　　　　　　　　　　　　ｆ'(0) 　　　　ｆ''(0)　　 　　　　 ｆ'''(0)
　　　ｆ(ｘ)＝ｆ(０)＋------ｘ＋--------ｘ＾2＋--------ｘ＾3＋……　より，
　　　　　　　　　　　　１！　　　　　 ２！　　　　　　　 ３！

　　　　　　　　　　　　　　　　 ｘ 　　ｘ＾2　　　ｘ＾3 　　ｘ＾4 　　ｘ＾5
　　　　　　　　ｅ＾x　＝１＋----＋----＋----＋----＋----＋……
　　　　　　　　　　　　　　　 １！　　 ２！　　３！　　４！　　 ５！

　　　　　　　　　　　　　　 ｘ＾3 　　ｘ＾5 　　ｘ＾7　　ｘ＾9
　　　　　　　　sinｘ＝ｘー----＋----ー----＋----ー……
　　　　　　　　　　　　　　　３！ 　５！　　７！ 　　９！

　　　　　　　　　　　　　　 ｘ＾2 　　　ｘ＾4 　　ｘ＾6　　ｘ＾8
　　　　　　　　cosｘ＝１ー----＋----ー----＋----ー…… がいえる。
　　　　　　 　　　　　　　　２！　　　４！　　６！　　８！

　　ｅ＾xの展開式において，ｘ＝ｉθとおくと，
　　　　　　　　ｉθ　　　(iθ)＾2　　(iθ)＾3 　　(iθ)＾4 　　(iθ)＾5 　(iθ)＾6
ｅ＾iθ＝１＋----＋-------＋------＋-------＋------＋------＋……
　　　　　　　　１！ 　　　２！ 　　　３！ 　　　　４！　　　　 ５！ 　　　６！

　　　　　　　θ 　　 θ＾2 　θ＾3 　θ＾4 　θ＾5 　　θ＾6
　　 ＝１＋----ｉー----ー----ｉ＋----＋----ｉー----ー……
　　　　　　　１！ 　　 ２！ 　３！ 　　４！ 　　５！　　 ６！

　　　　　　　θ＾2 　θ＾4 　θ＾6 　　　　　　　　　θ＾3 　θ＾5 　θ＾7
　　 ＝(１ー----＋----ー----＋……)＋(θー----＋----ー----＋……)ｉ
　　　　　　　２！　　 ４！　　 ６！　　　　　　　　　 ３！ 　　５！ 　７！

　　＝cosθ＋ｉsinθ と証明される。

　�B　ついでに，ド・モアブルの定理は，
　　　　　　ｅ＾iθ＝cosθ＋ｉsinθ より，
　　　　ｅ＾inθ＝cosｎθ＋ｉsinｎθ……(1)
　　　　　　　　(1)の左辺は，
　　　　ｅ＾inθ＝(ｅ＾iθ)n＝(cosθ＋ｉsinθ)n ………………(2)
　　　　　　　　(1)(2)より，(cosθ＋ｉsinθ)n＝cosｎθ＋ｉsinｎθ　が言える。