実数係数の方程式
　ｘ^３＋ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ＝０…………�@
がｘ＝２を解にもつとする。このとき
　　ｃ＝−□ａ−□ｂ−□
であり
　ｘ^３＋ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ
　　＝(ｘ−２){ｘ^２＋(ａ＋□)ｘ＋□ａ＋ｂ＋□}
となる。

　�@の解を２，α，βとし，複素数平面において３点２，α，βが正方形の異なる
三つの頂点になっているとする。さらに，この正方形の一辺の長さが５�浮Qで，
α，βの実部が負であるならば，α，βは
　　　□±□ｉ
である。このとき
　　　ａ＝□，ｂ＝□，ｃ＝□
となる。

【説明】
　前半は、ｘ＝２を解に持つからといって、ｘ＝２を代入すると、一応の
　答は求まるが、同様の事を２度せねばならなくなる。下記のように、
　組立除法を使うと一発で（それも２分以内に）解き終わる。
　後半は、複素数平面上でどういった図形を表すかが分かると、簡単な
　問題と言える。（逆に図形が分からないと、深みにはまり易い）
　ド・モアブルの定理も一切使わない、基本的すぎる問題といえる。

【解】

   組み立て除法を使って，（ｘ^３＋ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ）÷（ｘ−２）を実行すると，

　　２　（　１　　ａ　　　ｂ 　　　　　ｃ　　
　　　　　　　　　２　　2a+4　　　4a+2b+8
　　--------------------------------------
　　　　　　１　a+2　　2a+b+4　）c+4a+2b+8
　よって，割り切れる＝余りが０だから，ｃ+４ａ＋２ｂ＋８＝０
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　Ｃ＝−４ａ−２ｂ−８
　また，割り算の結果から，
　　ｘ^３＋ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ＝(ｘ−２){ｘ^２＋(ａ＋２)ｘ＋２ａ＋ｂ＋４}　　以上2分間。

　次に題意を満たす正方形を，複素数平面上に下図のように考える。
　(解答欄の形式からも，共役複素数だから，実軸（ｘ軸）対称であることが明らかに分かる。）
　　　

　すると，一辺が５√２だから，三平方の定理から対角線は１０となる。半分は５だから
　α，βの実部は，２−５＝−３が分かる。
　　〃　の虚部は，±５が分かる。つまり，α，β＝−３±５ｉである。　以上2分間。

　上の二つの問題から，ｘ^２＋(ａ＋２)ｘ＋２ａ＋ｂ＋４＝０の解が，α，βだから
　　　　　　　　　　　α＋β＝−(ａ＋２)
 　(−３＋５ｉ)＋(−３−５ｉ)＝−ａ−２
　  　　　　　　　　　　　−６＝−ａ−２
　　   　　　　　　　　　　　ａ＝４

　　　　　　　　　　　　αβ＝２ａ＋ｂ＋４
　(−３＋５ｉ)×(−３−５ｉ)＝２×４＋ｂ＋４
　 　　　　　　　　　９＋２５＝１２＋ｂ
　　  　　　　　　　　　　　ｂ＝２２

　Ｃ＝−４ａ−２ｂ−８だから，ｃ＝−４×４−２×２２−８＝−６８　   以上２分間。合計6分間！！。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　こんなので大学入学学力診断できるの？？