1辺の長さが1の正三角形ABCがある。
頂点Aは、x軸の負でない部分、頂点Bは、y軸の負でない部分 頂点Cは、第1象限にあるものとする。
このとき、頂点OとCの間の距離、OCの最大値と最小値を求めよ。
ま、つまり、青のように正三角形が動く時、赤の長さが変わるけど、それ調べよう。
→ →
BCは、BAを60゜回転させたものだから、
cーb=(aーb)(cos60゜+isin60゜)となり
1 浮R
c=b+(aーb)(−−+−−i)……………………@
2 2
角BAO=θ (0゜≦θ≦90゜)とおくと
cosθ=a ,isinθ=b となり @に代入して、
1
浮R
c=isinθ+(cosθーisinθ)(−−+−−i)
2 2
1 浮R
1 浮R
=(−−cosθ+−−sinθ)+(−−sinθ+−−cosθ)i
2 2
2 2
となる。
OC2=|c|2より
cosθ+浮Rsinθ
浮Rcosθ+sinθ
=( −−−−−−−−)2+(−−−−−−−−)2
2
2
=1+浮Rsinθcosθ
浮R
=1+−−sin2θ
2
よって、OC2は、
θ=0゜、90゜のとき、最小値OC=浮P=1をとる。
θ=45゜のとき、最大値
2
浮R+1
=−−−−
2 をとる。