(正三角形が内接する長方形) 2013.3.4

    equilateral triangle

 

 何が言いたいのかよくわからないタイトルになってしまったが,逆に,長方形に内接する正三角形と言ってもいい。

三角形の面積に関する長方形との関係である。

下図のような問題をいただいた。(高数研161号 数学の様々な話題,問題を提供して頂ける通信です。いつもお世話になってます。)

ある瞬間には,正三角形が内接する正方形にもなりそうですが,その面積の問題です。

出題のとおり,なんとも不思議です。

さて,この問題そのものも打ち直してみたのが,こちら。

これは,別にどうでもいい。全く同じものである。

この図を動かしてみたのが,こちらである。

 

単位円周上の2点を動かし,正三角形の回転をさせてみた。90°内を動かそうとすると,30°動かせばよい。

結局,下図のように,赤=青+黄 であるという事だ。

正三角形が回転することで,それぞれの面積ももちろん変化する。簡単そうで難しい。

 

90°右回転をして,正三角形の頂点と長方形の頂点(原点)を左上に回した。

そして,次のアニメのように線分をとることで,正三角形が描けることを先に示した。(色は後述の証明参照)

なぜそうなるか,という証明は,下図の通り。

 

長くなった。ということで正三角形が描けるということなので,解答は以下の通り。√3を利用した。∽相似ということである。

 

これらの資料PDFがこちらから。

math/anime/triangle2/triangle2-solve.pdf

最初の正三角形の回転するGRAPESファイルがこちらから。ダウンロードしてご利用ください。

math/anime/triangle2/triangle2.gps

 

 

まとめ

長くなったが,タイトルに戻ると,正三角形が内接している長方形というシンプルな問題ではあるが,

不思議な関係,でも当然成り立つ関係がある。

資料PDFの中には,別解として三角比を利用したものがある。計算ゴリゴリして,もちろん解けるのだが,

幾何的な意味合いがあるというところが美しいですね。

長方形が先にあり,内接する正三角形を描こうという時点で先のアニメの通り,どのような順序で描くべきかが,

本質的な問題を含んでいるような気がする。実に面白いなぁ。。。

 

エピローグ

3月1日を迎え,何があったかはなんとなく想像がつきそうだが,大きな仕事が一段落した。

たまっていたネタを片付けてしまいたい気になり,一気に,このひとつ前の逆数グラフと

この,正三角形問題の2ページ分を作成終えた。データとしてはもちろん以前からあったのだが,

それらをまとめ,Webページとして体裁を整え,と約2時間ほどの一気呵成の作業であった。

自分自身の仕事を記録するという一区切りをつけるものであった。現在を記録し,未来を見つめよう。

一歩前のその道をゆかなければ,,,,,(歌詞から)

 

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