equilateral triangle
何が言いたいのかよくわからないタイトルになってしまったが,逆に,長方形に内接する正三角形と言ってもいい。
三角形の面積に関する長方形との関係である。 下図のような問題をいただいた。(高数研161号 数学の様々な話題,問題を提供して頂ける通信です。いつもお世話になってます。) ある瞬間には,正三角形が内接する正方形にもなりそうですが,その面積の問題です。 出題のとおり,なんとも不思議です。 |
さて,この問題そのものも打ち直してみたのが,こちら。
これは,別にどうでもいい。全く同じものである。 この図を動かしてみたのが,こちらである。
単位円周上の2点を動かし,正三角形の回転をさせてみた。90°内を動かそうとすると,30°動かせばよい。 結局,下図のように,赤=青+黄 であるという事だ。 正三角形が回転することで,それぞれの面積ももちろん変化する。簡単そうで難しい。
90°右回転をして,正三角形の頂点と長方形の頂点(原点)を左上に回した。 そして,次のアニメのように線分をとることで,正三角形が描けることを先に示した。(色は後述の証明参照)
なぜそうなるか,という証明は,下図の通り。
長くなった。ということで正三角形が描けるということなので,解答は以下の通り。√3を利用した。∽相似ということである。
これらの資料PDFがこちらから。 math/anime/triangle2/triangle2-solve.pdf 最初の正三角形の回転するGRAPESファイルがこちらから。ダウンロードしてご利用ください。 math/anime/triangle2/triangle2.gps
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まとめ 長くなったが,タイトルに戻ると,正三角形が内接している長方形というシンプルな問題ではあるが, 不思議な関係,でも当然成り立つ関係がある。 資料PDFの中には,別解として三角比を利用したものがある。計算ゴリゴリして,もちろん解けるのだが, 幾何的な意味合いがあるというところが美しいですね。 長方形が先にあり,内接する正三角形を描こうという時点で先のアニメの通り,どのような順序で描くべきかが, 本質的な問題を含んでいるような気がする。実に面白いなぁ。。。
エピローグ 3月1日を迎え,何があったかはなんとなく想像がつきそうだが,大きな仕事が一段落した。 たまっていたネタを片付けてしまいたい気になり,一気に,このひとつ前の逆数グラフと この,正三角形問題の2ページ分を作成終えた。データとしてはもちろん以前からあったのだが, それらをまとめ,Webページとして体裁を整え,と約2時間ほどの一気呵成の作業であった。 自分自身の仕事を記録するという一区切りをつけるものであった。現在を記録し,未来を見つめよう。 一歩前のその道をゆかなければ,,,,,(歌詞から)
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