(東大 理系 2016-3) 2016.2.28
 
出題されて数日の,ほやほやの問題です。(作成現在はね。まだ合否も発表されてないし。)
今年の東京大学で,アニメっぽいのを感じたのが,この空間ベクトル問題でした。

なんだか,今日(2/28の日曜日)は,意外に時間がぽっかりと空いて,ほんじゃ東大の問題でもちょっと見てみるか,ってやり始めたら,この理系3番が,あ,こりゃGrapes3Dの出番だ!ってことで作り始めて,いま30分ぐらいたったところです。

こんな問題でして,

という,空間ベクトル内の,動点と三角形の面積(微分)との融合問題といったらいいのでしょうか?

いつものように,詳しい解答は載せていません。直線の方程式をベクトル表示で作り,xy平面との交点なのでz=0とし,三角形が直角三角形ということが分かると,求積をするが,最大最小は,その面積関数の微分で与えられるよね。って話です。でも,イメージ先行型で,答え予想が出来ちゃうところが面白いですね。

なんだか,昔(というか毎年?)見かけるような,いろんな分野との融合の,「立体イメージを持ってるか諸君!」って,教授ら怒られてる感じがする問題ですね。

僕はこれは,

「1.立体イメージつくれるか?
 2.答え予想できるか?
 3.正しく微分計算できるか?」
と問われている気がします。

さて,早速,これをGrapes3Dで描いてみたのが,これです。

問題では,P1,P2,とかR1,R2,とか書いてますが,添え字がめんどくさいので,ABCとDEFに変えています。(あ,Fを打ち忘れてる!今気づいた)

 

ちょっと違う角度から見たのがこれ。

ホントなら,ここにアニメを掲載するところだけど,ちょっと立体視したほうが面白そうだったので,大きめサイズになりました。そのため下のほうに掲載しました。そちらを見てください。

【解説】

【ポイント】 点を与えられて,立体がイメージできるか?

 

そんなに,難問ではなかったと思われるので,これが出来てないと,合格は厳しいのではないかな?と想像します。受験生の7割は満点を取るだろう,という問題の気がします。

 

【おまけ】

 ご覧になるとどうでしょう?明らかに,a=2が答えっぽいですよね。なぜなら,z座標z=1とz=3の中点だったとき,x軸上の三角形の長さとしては,最短になりますもんね。

↑この上の記述ですが,間違っておりました。<m(__)m>(2016.3.6)  

 x軸上の三角形の底辺にあたる部分,僕の図なら線分DFにあたる部分ですが,少し違和感を感じて,再度計算をやり直したところ,√3のときが,最短にあたることが分かりました。三角形の高さにあたる部分,僕の図なら線分DEですが,こちらは単調減少してるのですが,(底辺)×(高さ)÷2で三角形の面積を出す際に,両方の組み合わせでバランスをとり,√3ではなく,2のところで面積最小になることが分かりました。問題としてはそんなに単純ではなく,絶妙なバランスの上に成り立っていることが分かりました。問題としては,平面上の線分の長さが最短となるaは?と聞かれたら,a=√3というこっちはこっちで面白い問題になると思われます。

丁寧に解くことで完答されるべき問題であると思います。

さてさて,最後に,そのアニメーションの作成について書いておきます。

Grapes3Dで作図する。(ファイルはこちらからどうぞ)
パラメータを変えながらGIFで連番出力する。
GiamでGIFアニメーションへの処理をする。

やっぱりテクニックはこれだけでした。

 

アニメはここから大きめの画像を2つです。じっとモニターから30cm以上離れて見てください。飛び出してきますから。

 

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