（東大　２０１２－３　確率漸化式）　2015.12.14　

probability in recurrence relation

東京大学の文系・理系ともに出題された，2012年の確率漸化式（かくりつぜんかしき）の問題です。

東大理系数学'12年前期[2]

図のように、正三角形を9つの部屋に辺で区切り、部屋P，Qを定める。1つの球が部屋Pを出発し、1秒ごとに、そのままその部屋にとどまることなく、辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する。球がn秒後に部屋Qにある確率を求めよ。

　　　

このアニメの解説は，のちほど。。。。。
【いきさつ】

郷中ゼミを見学した。2015.12.13（日）

これは，難関大学を希望する高校２年生対象に，県内の英・数・国の指導者が，講座を開設するというものである。
生徒も県内あちこちから（離島も含め）集まっており，理系，文系それぞれのクラスが出来ている。
ちなみに夏は高３生，冬は高２生という形態です。

今回の授業の中で，アクティブラーニングを実践しているA先生の数学の授業を見学させてもらった。
写真の通り，立たせたり，隣同士話し合ったり，教えあったり，空中に右手でグラフを書かせたり，
それは，活動的という意味でもアクティブなものであり，深く考えるという意味でもアクティブであった。
（写真はもちろん生徒が特定できないよう，雰囲気が伝わる程度に小さくしてあります。）
参観する教員も20人程度だっただろうか？生徒だけでなくその場にいる全員が学ぶという姿勢だった。

その中で，東大の2012年の問題が最後に出され，少し時間不足で終わったところもあったので，
補足を込めてこのページを作成している。

高校2年生が集まっているわけだが，いろいろな高校からやってきている関係上，数列を未習のところもある。
確率に関しては，１年生で終わっているはずであるが，時間も経っていることと，入試問題のような演習までは
出来ていないと思われる。
今回の確率漸化式の問題については，大部分の生徒にとって「初めて」体験する，分野間の融合のようなものだろう。
確率が推移していき，それによる漸化式が成り立ち，一般項として確率が言えることは，驚きだったかもしれない。

東大の，三角形の隣のマスに移動するという問題が，まさに今回の確率漸化式との初対面としては相応しかった。

【解説】

　

【ポイント】 作ったアニメを解説する。

PとQの部屋が記入してあるのは，対称性からRという部屋を考えなさいよ，というヒントだろう。


その他の部屋は，ABCDEFとしたが，あえて名前を付けずとも，意味するところはおいおい分かってくるだろう。



青の色が動くアニメは，

１．最初にPにあるが，
２．１秒後には隣の部屋（ABC）を青くして，そこに動く可能性があるということを意味しており，
３．更にその次には，隣の部屋（PQR)を青にしたのは，そこへ動く可能性ということである。
４．更にその後は，隣に動くと部屋（ABCDEF)を青くしたが，そこへ動く可能性ということを表し，
５．ここで交互に変わる周期性を持つことを意味している。

（最初これを見たとき，LIFE GAMEの振動子のようだなぁと思いました。）
https://ja.wikipedia.org/wiki/ライフゲーム



赤の色が動くアニメは，逆回転再生だと思ってほしい。

１．最終的にRの部屋にいるということは，
２．その１秒前には隣の部屋（BDE)のいずれかにいたことを表し，
３．更にその１秒前には，その隣の部屋（PQR)にいたことを表している。



結果的に，時間の進行通りの青と，逆回転再生の赤を比較すると，
PQRの部屋というものが（原子力マークの逆のように見えます！）
カギになっていることが分かります。




おそらく，奇数秒後の確率は０と書いても，数点はもらえたのではないかな？
偶数秒後しか可能性がないのは，すぐにわかることでしょう。

最後に書いた，極限的な発想は数Ⅲにつながるものです。
長時間後には，「PQRのどこか」に「均等の確率」でいるということを表していますね。

　

これが模範解答。ちょっと計算ミスがあったので，修正しています。配布された生徒の皆さん，ごめん。<m(__)m>　いろんな大人の事情があるんですよ・・・

　

　

【おまけ】

　

さて，最後に，その授業の様子とアニメーションの作成について書いておきます。

　　　　　　　

こんな感じの授業は，アクティブですよね。

　　　　今回の授業の中で，アクティブラーニングを実践しているA先生の数学の授業を見学させてもらった。
　　　　写真の通り，立たせたり，隣同士話し合ったり，教えあったり，空中に右手でグラフを書かせたり，
　　　　それは，活動的という意味でもアクティブなものであり，深く考えるという意味でもアクティブであった。
　　　　（写真はもちろん生徒が特定できないよう，雰囲気が伝わる程度に小さくしてあります。）
　　　　参観する教員も20人程度だっただろうか？生徒だけでなくその場にいる全員が学ぶという姿勢だった。

というコメントは，この写真を見ながらのほうがいいでしょうね。

　

更に，アニメーションは，

Photoshopで，ペタペタと色塗りする。
GiamでGIFアニメーションへの処理をする。

やっぱり，いつものたったこれだけでした。

この更新は，もちろん，授業者A先生に承諾をいただき，生徒の顔も分からないように処理したものですが，責任はすべてDOZONOにあります。

アクティブな授業のお礼に，アクティブなページを，素早く作らねば！という使命感を感じたからです。鹿児島県は熱いのです！

　

　

戻る