サイクロイドと並んで，有名な曲線である。昔，ギザギザのついた歯車に鉛筆を刺して，同じくギザギザのついた大きな輪の中を回してきれいな図形を描くという文具？のようなおもちゃがあった。記憶のどこかにあるのでは？コンピュータでも有名な曲線である。数学的に書き方は大きく二つある。

• 一つ目は，両軸上に端点を持つ長さ一定の線分を動かしていくと， 包絡線としてアステロイドが現われる。（Fig1)

Fig1

• もう一つの描き方として，円に内接するもう一つの円を滑らせずに回転させて出来る軌跡としても表現できる。（Fig2)

Fig2

数学的には，微分（数学�V）を利用しても描けますが，コンピュータの得意とするところでしょう。
式では，
　　x = cos³θ，y = sin³θ
と表せる。（媒介変数表示，パラメータ表示とも言う）θを利用して，x,yを決定する方法。
また，別の表現として，
　　x^2/3+y^2/3=1
と言う書き方もある。

これらの表現の違いは，陽関数，陰関数，パラメータ表示の違いと言われている。

★ 陽関数とは

関数ｙ＝ｆ（ｘ）を使って２次元の曲線を表現する方法を曲線の陽的表現（explicit representation）という。ｆ（ｘ）はｘの値を入れると何か値を返してくれるルールと考えられる。ｘの値をｆ（ｘ）に入れてｙの値を求めれば（ｘ，ｙ）は曲線上の点となる。

ｙ＝ｆ（ｘ）という曲線の表現方法は分かりやすいが欠点がある。１つｘの値に対してｆ（ｘ）は１つの値しか返さないので，同じｘの値で何個もｙの値がある曲線を表現するのは面倒になる。例えば円がその例である。ｘの値１つに対しｙの値は２つあります。原点中心で半径がｒの円を表現するためにはｙ＝±√ｒ−ｘ２のように上の曲線を表す式と下の曲線を表す式に分ける必要がある。陽的表現で１つのｘの値に対してｙの値が何個もあるような曲線を表す場合は１つのルールだけでは表せないことになる。 

★陰関数とは

関数ｆ（ｘ，ｙ）＝０で２次元の曲線を表現する方法を陰的表現（implicit representation）という。この表現方法ではｆ（ｘ，ｙ）というルールにｘの値，ｙの値を入れたとき０が返ってくれば点（ｘ，ｙ）は曲線の上の点である判断する。 

★パラメータ表示とは

２つの関数ｘ＝ｆ（ｔ），ｙ＝ｇ（ｔ）を使って２次元の曲線を表現する方法をパラメトリック表現（parametric representation）という。ｆ（ｔ），ｇ（ｔ）はｔの 値を入れるとそれぞれ何か値を返してくれるルールと考えられる。ｘの値とｙの値はそれぞれのルールにｔの値を入れると決定する。ｔを動かすと（ｘ，ｙ）は曲線を描く。この表現方法を使うと陽的表現のようにｙの値はｘの値によって決まるわけではないので１つのｘの値に対してｙの値が何個もあるような曲線も表現することができる。