（解）
(1) ｗ＝γ＋ｚだから，ｗはｚをγだけ平行移動したものである。よって上図のとおり，ｗは点γを中心とした半径１の円周上を動く。
(2) ｗ＝γ＋ｚ
√5 √5
＝（---＋---ｉ）＋（cosθ＋ｉsinθ）
2 2
√5
√5
＝（---＋cosθ）＋（---＋sinθ）ｉ
2 2
｜ｗ｜＝１より｜ｗ｜２＝１だから，
√5
√5
（---＋cosθ）２＋（---＋sinθ）２＝１
2
2
5
5
---＋√5cosθ＋cos２θ＋---＋√5sinθ＋sin2θ＝１
4
4
√5
sinθ＋cosθ＝－ ----
2
また，
√5
√5
ｗ＝（---＋cosθ）＋（---＋sinθ）ｉ
2 2
＝ａ＋ｂｉ だから，
√5
√5
√5 √5
ａ＋ｂ＝ ---＋cosθ＋---＋sinθ＝√5－
--- ＝ ---
2
2
2 2
(3) 交点の座標を，α＝ａ＋ｂｉとおく。 αは，Ｃ1上にあるから，ａ２＋ｂ２＝１ また，αはＣ２上にもあるから，
√5
ａ＋ｂ＝--- である。
2
この２式を連立すると，
√5＋√3 √５－√3
ａ＝---------- ， ｂ＝-----------
4 4
および，
√5－√3 √５＋√3
ａ＝---------- ， ｂ＝-----------
4
4
となり，それぞれに対応する２つの交点α＝ａ＋ｂｉが求まる。
【解説】
出題されたてのホヤホヤ（2000,2／25実施 2000,2/26作成）の問題。わが母校の鹿大ゆえ，毎年気になるところです。
複素数平面上の図形の問題とは言え，内容は実質的には，数学Ⅱの「図形と方程式」の円の問題と読みかえる事が可能である。
とはいえ，複素数での図形の表現は相変わらず，わかりにくいですねェ。円の定義のように，「ある点から等距離にある点の集合」という意味や，ベクトル的な発想，もちろん基本的な計算も，多くの知識を必要としますよねぇ。
移動中の円は問題ではなく，移動後の円と元の円との関係を問うているので，上図のようなアニメは本来は必要はなかろう。が，問題の言ってることは，上図のとおり，たったこれだけなのである！
問題を発展させて，一般的に次のようなｒが言える。
複素数ｚと，複素数ｗの間に，ｗ＝γ＋ｚの関係がある。
ただし，γ＝ ｒ（１＋ｉ） とする。
Ｃ1は原点を中心とする半径１の円とする。
Ｃ1上の点ｚに対応する点ｗが｜ｗ｜＝１のとき，
ｗ＝ａ＋ｂｉとすると，ａ＋ｂ＝ ｒ となる。
これを表したのが，右の図である。
薄い緑の四角形は正方形である。
このとき，二円の交点が第一象限において存在するためには，
１＜ｒ≦√２でなければならない。
（交点の数は，ｒ＝√２のとき１個。他は２個。）
（Ｃ２の中心のｘ（or ｙ）座標）は，（交点のｘ座標＋ｙ座標）である。 |
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